บทที่ 3 การชนและโมเมนตัม

โมเมนตัม หมายถึง ความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณระหว่างมวลและความเร็วของวัตถุ มวลเป็นปริมาณสเกลาร์แต่ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ เมื่อนำปริมาณทั้งสองเข้าคูณด้วยกัน ถือว่าปริมาณใหม่เป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ฉะนั้นโมเมนตัมจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้งขนาดและทิศทาง

โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว

ในวิชาฟิสิกส์ สัญลักษณ์ของโมเมนตัมคือตัวอักษร p ดังนั้นอาจเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น:

$\mathbf{p}= m \mathbf{v}$

โดยที่ m แทนมวล และ v แทนความเร็ว หน่วยเอสไอของโมเมนตัม คือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s) ความเร็วของวัตถุจะให้ทั้งขนาด (อัตราเร็ว) และทิศทาง โมเมนตัมของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว จึงทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จาก มวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ

$m \Delta \mathbf{v}= \mathbf{F} \Delta t$

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และการชน

โมเมนตัมมีสมบัติพิเศษนั่นก็คือจะถูกอนุรักษ์อยู่เสมอ (ไม่เพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันก็ไม่ลดหายไป) แม้แต่ในการชนพลังงานจลน์นั้นจะไม่ถูกอนุรักษ์ในการชน ถ้าการชนนั้นเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น เนื่องจากการคงตัวของโมเมนตัมที่กล่าวมาแล้ว จึงทำให้สามารถนำไปคำนวณความเร็วที่ไม่ทราบค่าภายหลังการชนได้

ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ที่จะต้องใช้ความจริงที่กล่าวมานี้ ก็คือการชนกันของสองอนุภาค โดยผลรวมของโมเมนตัมก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังการชนเสมอ

$m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,$

โดยที่ตัวห้อย i แสดงถึงก่อนการชน และตัวห้อย f แสดงถึงหลังการชน

โดยปกติ เราจะทราบเพียงความเร็วก่อนการชน หรือหลังการชน ไม่อย่างใดก็อย่างหนึ่ง และต้องการที่จะทราบความเร็วอีกตัวหนึ่ง การแก้ไขปัญหานี้อย่างถูกต้องจะทำให้เราทราบว่าการชนนั้นเป็นอย่างไร การชนนั้นมีสองประเภท ดังต่อไปนี้

การชนแบบยืดหยุ่น เป็นการชนที่อนุรักษ์พลังงาน
การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนที่ไม่อนุรักษ์พลังงาน

การชนทั้งสองประเภทที่ได้กล่าวมานี้ เป็นการชนที่อนุรักษ์โมเมนตัมทั้งหมด

การชนแบบยืดหยุ่น

การชนกันของลูกสนุ้กเกอร์สองลูก เป็นตัวอย่างหนึ่งของการชนแบบยืดหยุ่น นอกเหนือจากที่โมเมนตัมรวมกันก่อนชนต้องเท่ากับโมเมนตัมรวมกันหลังชนแล้ว ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์หลังการชนด้วย

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,i}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2 = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,$

เนื่องจากตัวประกอบ 1/2 มีอยู่แล้วทุก ๆ พจน์ จึงสามารถนำออกไปได้

การชนแบบพุ่งตรง (การชนในหนึ่งมิติ)

ในกรณีที่วัตถุพุ่งเข้าชนกันแบบเต็ม ๆ เป็นทางตรง เราสามารถหาความเร็วปลายได้เป็น

$v_{1,f} = \left ( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

$v_{2,f} = \left ( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

การชนแบบไม่ยืดหยุ่น

ตัวอย่างที่พบเห็นได้ของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น คือการที่วัตถุชนแล้วติดกัน (ไถลไปด้วยกัน) สมการต่อไปนี้จะแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัม

$m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = \left ( m_1 + m_2 \right) \mathbf v_f \,$

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม การดลจะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ โดยการดลมีหน่วยและมิติเหมือนโมเมนตัมทุกประการ หน่วยเอสไอของการดลนั้นเหมือนกับหน่วยของโมเมนตัม (กิโลกรัม เมตร/วินาที) การดลสามารถคำนวณได้จากปริพันธ์ของแรงกับเวลา

$\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt$

โดยที่

I แทนการดล หน่วยเป็นกิโลกรัม เมตรต่อวินาที

F แทนแรง หน่วยเป็นนิวตัน

t เป็นเวลา หน่วยเป็นวินาที

หากมีแรงคงตัว การดลมักจะเขียนเป็น

$\mathbf{I} = \mathbf{F}\Delta t$

โดยที่

$\Delta t$ เป็นเวลาที่แรง F กระทำ

จากนิยามของแรง

\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt

\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}

\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}

ข้อควรจำ

1. โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้งขนาดและทิศทาง

2. โมเมนตัมขณะใด ๆ ของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกับความเร็วเสมอ

3. ขนาดของโมเมนตัมเท่ากับ mv เมื่อ v เป็นขนาดของความเร็ว

การชน ( Collision ) การชน หมายถึง การที่วัตถุหนึ่งกระทบกับอีกวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาสั่นๆ ( การชนกันของรถ การ กระทบกันของลูกตุ้ม กับเสาเข็ม การตีเทนนิส ตีปิงปอง ตีกอล์ฟ การเตะลูกบอล )หรือในบางครั้งวัตถุอาจ ไม่ต้องกระทบกัน แต่มีแรงมากระทำต่อวัตถุแล้วให้ผลเหมือนกับการชน ( การระเบิดของวัตถุระเบิด การ ยิงปืน ) ในการชนของวัตถุโดยมากมักจะมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ ซึ่งขนาดของแรงจะมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับลักษณะการชนของวัตถุ และในการชนอาจมีการสูญเสียค่าโมเมนต้มมากหรือน้อย หรือไม่สูญเสีย เลยก็ได้ เราอาจแยกการชนออกได้ 2 ลักษณะดังนี้

1. เมื่อโมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่ เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระท าน้อยมากๆ เมื่อ เทียบกับขนาดของแรงดลที่เกิดขึ้น หรือแรงภายนอกเป็นศูนย์ เช่น การชนกันของลูกบิดเลียด การชนของ รถยนต์ การยิงปืน เป็นต้น

2. เมื่อโมเมนตัมของระบบไม่คงที่ เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำมากกว่าแรงดลที่ เกิดกับวัตถุขณะชนกัน เช่นลูกบอลตกกระทบพื้น รถยนต์ชนกับต้นไม้ เป็นต้น ในที่นี้ เราจะกล่าวถึงการชนของวัตถุ เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ ซึ่งจะเป็นผลให้ โมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่ พิสูจน์ได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน เมื่อวัตถุชนกันจะเกิดแรงกระทำซึ่งกันและกันด้วยขนาดที่เท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม

1. การชนแบบยืดหยุ่น

เป็นการชนที่พลังงานจลน์ของระบบไม่เปลี่ยน พิจารณาการชนกันของวัตถุสองก้อน ที่มีความเร็วอยู่ในแนวผ่านจุดศูนย์กลางมวล

2. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น

เป็นการชนของวัตถุแล้วรูปร่างมีการเปลี่ยนแปลง หรือมีการเคลื่อนที่ติดกันไป พลังงานจลน์ไม่คงที่ พลังงานจลน์หลังชนมีค่าน้อยกว่าหลังงานจลน์ก่อนชนเพราะว่าพลังงานจลน์บางส่วนน าไปใช้ในการ เปลี่ยนรูปร่างวุตถุให้ยุบ, บุบ หรือเปลี่ยนรูปเป็นพลังงานเสียง แต่โมเมนตัมรวมก่อนการชนเท่ากับหลังการ ชนวัตถุ

ตัวอย่างการชนในแนวเส้นตรง

การชนแบบยืดหยุ่น (พลังงานก่อนแลหลังชนคงที่ไม่เสียให้สภาพแวดล้อม)

กำหนดให้ก่อนชน ma = 10 kg mb = 10 kg ua = 5 m/s ub = 0 m/s	วิ่งชนนิ่ง (10)(5) + (10)(0) = (10)(0) + (10) 50 + 0 = 0 + (10) 50/10 = 5 m/s = สรุป b หลังชนมีความเร็ว 5 m/s เท่ากับความเร็วของ a ที่เข้ามาชน
กำหนดให้ก่อนชน ma = 10 kg mb = 10 kg ua = 5 m/s ub = -5 m/s	วิ่งชนท้าย (10)(5) + (10)(-5) = (10)(-5) + (10) 50 – 50 = -50 + (10) 50/10 = 5 m/s = สรุปได้ว่า b หลังชนเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 5 m/s ส่วน aเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วลดลงเหลือ -5 m/s
กำหนดให้ก่อนชน ma = 10 kg mb = 10 kg ua = 5 m/s ub = 2 m/s	วิ่งชนกัน (10)(5) + (10)(2) = (10)(2) + (10) 50 + 20 = 20 + (10) (70-20)/10 = 5 m/s = สรุปได้ว่า b หลังชนเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 5 m/s เท่ากับความเร็วของ a ที่เข้ามาชน ส่วน a สะท้อนกลับด้วยอัตราเร็ว 2 m/s

ตัวอย่างการชนใน 2 มิติ

รถชนกันกลางทางแยก

รถ Aเคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันออกด้วยโมเมนตัม 1 รถ B เคลื่อนที่ไปทางเหนือด้วยโมเมนตัม 1 ผลรวมของโมเมนตัมหลังชนต้องรวมกันแบบเวกเตอร์ โดยอาศัยทฤษฏีปิทากอรัส

$c = \sqrt{2}=1.414$

สรุปได้ว่ารถทั้งสองคันเคลื่อนที่ไปทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยโมเมนตัม 1.414

ระเบิดตูม!!!

โมเมนตัมของสะเก็ดระเบิดแต่ละอันรวมกันแบบเวกเตอร์แล้วต้องเท่ากับโมเมนตัมของลูกระเบิดที่กำลังตกลงมา กฎการณ์อนุรักษ์โมเมนตัม แลกฎการอนุรักษ์พลังงาน(จะเล่าถึงในบทถัดไป) เป็นหัวใจของวิชากลศาสตร์ กฎนี้ทำให้เราเข้าใจความสำพันธ์ระหว่างอนุภาคระดับเล็กๆจนถึงจักรวาลอันกว้างใหญ่

ที่มา : https://uniquenessiam.wordpress.com/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%8A%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1/

:https://krusinchai.files.wordpress.com/2011/12/e0b89ae0b897e0b897e0b8b5e0b9886e0b982e0b8a1e0b980e0b8a1e0b899e0b895e0b8b1e0b8a11.pdf